Mengen

Der Inhalt dieser Seite entspricht dem Kapitel A1.1 des Mathematikskripts. Die fett gedruckten Wörter sollten Sie auch aktiv beherrschen..

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten. Diese Objekte heißen Elemente der Menge. Mengen werden meist mit kursiven Großbuchstaben bezeichnet und in geschweiften Klammern geschrieben. Die Elemente können durch ein Komma getrennt werden . Oft, besonders wenn Dezimalzahlen Elemente der Menge sind, ist das Semikolon (;) als Trennzeichen zweckmäßiger. Die Reihenfolge der Elemente ist unwichtig.  

A = { 2; 3; 4; 5; 6; 7 } = {6; 7; 5; 4; 3; 2}

Jedes Element darf nur einmal in der Menge enthalten sein, sonst wären die Elemente nicht wohlunterschieden. {2; 3; 2; 4} ist demnach keine Menge. Dass ein Element in der Menge enthalten ist, wird durch das Symbol ∈ ausgedrückt.

Gesprochen wird dies: 3 ist Element von A, kurz 3 Element A, 3 in A oder 3 aus A. Die Beziehung ∈ heißt Inklusion.

Ist ein Element nicht Teil der Menge, so wird das Zeichen ∉ (ist nicht in) benutzt. Man spricht von Exklusion.

Das Zeichen | (gesprochen: für die gilt) - steht vor einer oder mehreren Bedingungen, die die Menge erfüllt.

  A = { n | n ∈ Z ∧1 < n < 8 }  A ist die Menge aller n, für die gilt: n ist eine ganze Zahl und n ist größer als 1 und kleiner als 8.

Eine einfachere und häufigere Schreibweise, die man auch abgekürzt sprechen kann, ist:

A = {n | 1 < n < 8 mit n ∈ N}, gesprochen: A enthält alle n größer eins und kleiner acht mit n aus den natürlichen Zahlen.

Eine Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge oder Nullmenge {0}

Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge L.

Teilmenge

Alle Elemente im obigen Beispiel sind natürliche Zahlen. Also sind alle Elemente von A auch Elemente von N. Die Menge N ist umfassender als die Menge A. Die mathematische Ausdrucksweise dafür ist:

A ⊂ B  bzw.  B ⊃ A

Gesprochen: A ist Teilmenge (oder Untermenge oder) von B, und B ist Obermenge von A.

In diesem Fall handelt es sich um echte Teilmengen, A und B sind niemals gleich. Wenn die Mengen auch gleich sein können, spricht man von einer unechten Teilmenge, z.B. N ⊆ N .

Schnittmenge

Zwei (oder mehrere) Mengen können gemeinsame Elemente besitzen. Die Menge dieser gemeinsamen Elemente heißt Durchschnittsmenge oder Schnittmenge (kurz Durchschnitt) und wird mit dem Symbol ∩ bezeichnet. Für die Schnittmenge der Mengen A und B lautet die formale Definition:

S = A ∩ B = { x | x ∈A ∧ x ∈ B } gesprochen: S enthält alle Elemente x, die in A und B sind.

Variante: Eine etwas weniger fachsprachliche Beschreibung der Schnittmenge könnte auch lauten: Die Elemente der Schnittmenge von A und B sind sowohl in A als auch in B enthalten. (Zustandspassiv!) Die Schnittmenge enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Vereinigungsmenge

Wenn man die Elemente von mehreren Mengen zusammenfasst, entsteht eine neue, größere Menge. Diese Menge wird Vereinigungsmenge (kurz Vereinigung) genannt und mit dem Symbol ∪ bezeichnet.

V = A ∪B = { x | x ∈A ∨ x ∈ B } gesprochen: V enthält alle Elemente x, die in A oder B sind.

Differenzmenge

Die Differenzmenge A \ B  (Menge A ohne Menge B) besteht aus der Menge von Elementen, die zwar der Menge A angehören, aber nicht der Menge B. Man nennt diese Menge auch das Komplement von B bezüglich A.

Existenz

Für die Aussage ''es existiert ein'' ist das Symbol ∃ gebräuchlich.

∃x ∈A, das eine gerade Zahl ist.  Gesprochen: Es existiert ein Element in A, das eine gerade Zahl ist.

In der Menge der naürlichen Zahlen N gibt es mehr als eine gerade Zahl. Die Zahl 5 gibt es aber nur einmal. Wenn es genau ein Element gibt, das die Bedingung erfüllt, spricht man: Es existiert genau ein Element der Menge A, das 5 ist.

Variante: Natürlich kann man auch es gibt benutzen - aber niemals ohne es. - Es gibt genau ein Element von A, das 5 ist.

für alle...

Das Symbol ∀ heißt „für alle gilt “. Somit lässt sich auch schreiben:

∀ x ∈ B | x ist eine gerade Zahl. Gesprochen: Für alle Elemente der Menge B gilt: Sie sind eine gerade Zahl.

Manchmal ist es klarer, ∀ als ''für jedes'' zu lesen: Für jedes Element der Menge B gilt: Es ist gerade.

gehören zu

Für x ∈ A sagt man auch oft: Das Element x gehört zur Menge A.

Das ist nicht ganz exakt, da gehören zu auch eine Zuordnung von Elementen mehrerer Mengen bezeichnen kann, wie z.B. in einer Funktion. Vor allem darf man niemals die Präposition zu vergessen.

Gehören (+ Dativ) hat nämlich nichts mit Mathematik zu tun, sondern bezeichnet ein Besitzverhältnis. (Das Buch gehört mir.)

Übung

Wortschatz

Die folgenden Formulierungen werden sie in fachsprachlichen Texten immer wieder finden:

sich befinden (wo? = Ortsangabe): irgendwo sein
enthalten (+Akkusativ), seltener: beinhalten: zum Inhalt haben, in sich haben
enthalten sein (wo? = Ortsangabe): darin sein
existieren (): da sein, sein - alternativ: es gibt 

vgl. auch "Zauberwörter"

Die folgenden Sätze sind inhaltlich richtig, klingen aber umgangssprachlich oder sind nicht präzise genug und können fachsprachlich verbessert werden.

1. Die Zahl 5 ist in der Menge der natürlichen Zahlen drin. → Die Zahl 5 ist in der Menge der natürlichen Zahlen .

2. Die Menge M hat 10 Elemente. → Die Menge M 10 Elemente.

3. In einer unechten Teilmenge sind alle Elemente die Teilmenge.
→ In einer unechten Teilmenge zweier Mengen keine Elemente, die nur zu einer der Mengen gehören.

4. Es gibt mindestens ein Element, das in A und auch in B drin ist.
→ Es mindestens ein Element, das in A auch in B ist.

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