Der Inhalt dieser Seite entspricht dem Kapitel
A1.1 des Mathematikskripts. Die fett
gedruckten Wörter sollten Sie auch aktiv beherrschen..
Eine Menge ist eine
Zusammenfassung von wohlunterschiedenen
Objekten. Diese Objekte heißen Elemente
der Menge. Mengen werden meist mit kursiven
Großbuchstaben bezeichnet und in geschweiften
Klammern geschrieben. Die Elemente können durch ein Komma getrennt werden .
Oft, besonders wenn Dezimalzahlen Elemente der Menge sind, ist
das Semikolon (;) als
Trennzeichen zweckmäßiger. Die Reihenfolge der Elemente ist
unwichtig.
A = { 2; 3; 4; 5; 6; 7
} = {6; 7; 5; 4; 3; 2}
Jedes Element darf nur einmal in der Menge enthalten sein,
sonst wären die Elemente nicht wohlunterschieden. {2; 3; 2; 4}
ist demnach keine Menge. Dass ein Element in der Menge enthalten
ist, wird durch das Symbol ∈ ausgedrückt.
Gesprochen wird dies: 3
ist Element von A, kurz 3
Element A, 3
in A oder 3
aus A. Die Beziehung ∈ heißt Inklusion.
Ist ein Element nicht Teil der Menge, so
wird das Zeichen ∉ (ist nicht in)
benutzt. Man spricht von Exklusion.
Das Zeichen | (gesprochen: für
die gilt) - steht vor einer oder mehreren Bedingungen, die die Menge erfüllt.
A
= { n | n ∈ Z ∧1
< n < 8 } A
ist die Menge aller n, für die gilt: n ist eine ganze Zahl
und n ist größer als 1 und kleiner als 8.
Eine einfachere und häufigere Schreibweise,
die man auch abgekürzt sprechen kann, ist:
A = {n | 1 < n < 8 mit
n ∈ N},
gesprochen:
A enthält alle n größer eins und kleiner acht mit n
aus den natürlichen Zahlen.
Eine Menge, die keine Elemente enthält, heißt
leere Menge oder Nullmenge
{0}
Die Menge aller Lösungen einer Gleichung
heißt Lösungsmenge L.
Teilmenge
Alle Elemente im obigen Beispiel sind
natürliche Zahlen. Also sind alle Elemente von A
auch Elemente von N.
Die Menge N ist
umfassender als die Menge A.
Die mathematische Ausdrucksweise dafür ist:
A ⊂
B bzw. B ⊃ A
Gesprochen: A
ist Teilmenge (oder Untermenge oder) von B, und B ist
Obermenge von A.
In diesem Fall handelt es sich um echte
Teilmengen, A
und B sind niemals
gleich. Wenn die Mengen auch gleich sein können, spricht man von
einer unechten Teilmenge,
z.B. N ⊆ N
.
Schnittmenge
Zwei (oder mehrere) Mengen können
gemeinsame Elemente besitzen. Die Menge dieser gemeinsamen
Elemente heißt Durchschnittsmenge
oder Schnittmenge
(kurz Durchschnitt) und wird mit dem Symbol ∩ bezeichnet. Für
die Schnittmenge der Mengen A
und B lautet die
formale Definition:
S = A
∩ B = { x
| x ∈A
∧ x ∈ B } gesprochen:
S enthält alle Elemente x, die in A und B
sind.
Variante: Eine etwas weniger fachsprachliche
Beschreibung der Schnittmenge könnte auch lauten: Die Elemente
der Schnittmenge von A und B sind
sowohl in A als
auch in B enthalten.
(Zustandspassiv!) Die Schnittmenge enthält
alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten
sind.
Vereinigungsmenge
Wenn man die Elemente von mehreren
Mengen zusammenfasst, entsteht eine neue, größere Menge. Diese
Menge wird Vereinigungsmenge (kurz
Vereinigung) genannt und mit dem Symbol ∪ bezeichnet.
V = A ∪B = { x | x
∈A ∨ x ∈ B
} gesprochen: V enthält alle Elemente x, die in A oder
B sind.
Differenzmenge
Die Differenzmenge
A \ B
(Menge A ohne Menge B) besteht aus der Menge
von Elementen, die zwar der Menge A
angehören, aber nicht der Menge B.
Man nennt diese Menge auch das Komplement
von B bezüglich A.
Existenz
Für die Aussage ''es
existiert ein'' ist das Symbol ∃
gebräuchlich.
∃x ∈A, das eine gerade Zahl
ist. Gesprochen: Es
existiert
ein
Element in A, das eine gerade Zahl ist.
In der Menge der naürlichen Zahlen N
gibt es mehr als eine gerade Zahl. Die Zahl 5 gibt es aber nur
einmal. Wenn es genau ein Element gibt, das die Bedingung
erfüllt, spricht man: Es
existiert genau ein Element der Menge A, das 5 ist.
Variante: Natürlich kann man auch es gibt
benutzen - aber niemals ohne es. - Es
gibt genau ein Element von A, das 5 ist.
für alle...
Das Symbol ∀ heißt „für
alle gilt “. Somit lässt sich auch
schreiben:
∀ x ∈ B
| x ist eine
gerade Zahl. Gesprochen: Für
alle Elemente der Menge B gilt: Sie sind eine gerade Zahl.
Manchmal ist es klarer, ∀ als ''für jedes''
zu lesen: Für jedes Element der Menge B gilt:
Es ist gerade.
gehören zu
Für x
∈ A sagt man
auch oft: Das Element x gehört zur Menge A.
Das ist nicht ganz exakt, da gehören zu auch eine
Zuordnung von Elementen mehrerer Mengen bezeichnen kann, wie
z.B. in einer Funktion. Vor allem darf man niemals die
Präposition zu vergessen.
Gehören (+ Dativ) hat nämlich nichts mit Mathematik zu
tun, sondern bezeichnet ein Besitzverhältnis. (Das Buch
gehört mir.)
Übung
Wortschatz
Die folgenden Formulierungen werden sie in fachsprachlichen
Texten immer wieder finden:
sich befinden (wo? = Ortsangabe): irgendwo sein
enthalten (+Akkusativ), seltener: beinhalten: zum Inhalt haben,
in sich haben
enthalten sein (wo? = Ortsangabe): darin sein
existieren (): da sein, sein - alternativ: es gibt
vgl. auch "Zauberwörter"
Die folgenden Sätze sind inhaltlich richtig,
klingen aber umgangssprachlich oder sind nicht präzise genug
und können fachsprachlich verbessert werden.
1. Die Zahl 5 ist in der Menge der natürlichen Zahlen drin.
→ Die Zahl 5 ist in der Menge der natürlichen Zahlen .
2. Die Menge M hat 10 Elemente. → Die Menge M 10
Elemente.
3. In einer unechten Teilmenge sind alle Elemente die
Teilmenge.
→ In einer unechten Teilmenge zweier Mengen keine Elemente, die
nur zu einer der Mengen gehören.
4. Es gibt mindestens ein Element, das in A und auch in B drin
ist.
→ Es
mindestens ein Element, das in A auch in B ist.
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(c) Hans Göttmann 2016• letzte Änderung: 16.1.2016
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