Die Zahlenbereiche N, Z, Q, I, R

In handschriftlichen Ausarbeitungen verwenden Sie bitte die "klassischen" Bezeichnungen für die Zahlenbereiche: .

Beim Schreiben mit dem Computer können Sie stattdessen auch fett gedruckte Großbuchstaben verwenden, sofern klar ist, dass es um Mengen geht.

Natürliche Zahlen N

Die Menge N der natürlichen Zahlen enthält die ganzen nicht negativen Zahlen.

N = {0; 1; 2; 3 ...} oder N = {1; 2; 3 ...}

Die Mathematiker (auch die am Studienkolleg) sind sich leider nicht einig darüber, ob die Zahl 0 ist in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten ist. Auch am Studienkolleg gibt es dazu unterschiedliche Meinungen. Die DIN-Norm zählt die Null zu den natürlichen Zahlen, viele Mathematiker zählen sie jedoch nicht dazu. Es ist auch schlecht einzusehen, warum die Null Teil der positiven Zahlen sein sollte, denn sie ist ja weder positiv noch negativ. Fragen Sie am besten bei Ihrem Dozenten nach, wie er / sie es mit der Null hält!

Um die 0 definitiv auszuschließen, schreibt man N*. Demnach ist die Menge aller positiven ganzen Zahlen definiert als: 

N \{0} =: N*

Wenn Sie die natürlichen Zahlen grundsätzlich ohne 0 definieren, ist diese Definition natürlich überflüssig.

Ganze Zahlen Z

Die natürlichen Zahlen N sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen Z. Diese enthalten zusätzlich alle negativen ganzen Zahlen.

Definition: Eine Zahl z heißt ganz, wenn es natürliche Zahlen n, m mit z = n-m gibt. (gilt nur, wenn N die 0 enthält!)

Der Betrag einer Zahl ist die Zahl ohne Vorzeichen. Man schreibt |-2| = 2 , gesprochen: Der Betrag von  minus 2 ist 2.

Rationale Zahlen Q, Irrationale Zahlen I

Die Menge der rationalen Zahlen Q enthält alle Zahlen, die sich durch den Quotienten zweier ganzer Zahlen darstellen lassen.

Definition: Eine Zahl a heißt rational ( a ∈ Q), wenn es zwei ganze Zahlen g und h gibt mit a = g / h. (h ≠ 0).

Ist dies nicht möglich, so heißt die Zahl irrational und gehört zur Menge I. Die Kreiszahl π ist z.B. irrational.

Reelle Zahlen R

Durch die Vereinigung der rationalen und irrationalen Zahlen ensteht die Menge der reellen Zahlen R. ( R = Q ∪ I ) In der Analysis arbeiten wir fast immer mit reellen Zahlen. Reelle Zahlen kann man als Dezimalbrüche darstellen.

Die komplexen Zahlen C werden im Kolleg nicht behandelt.

Das Intervall

Eine zusammenhängende Teilmenge von R nennt man Intervall. Auch hier sind als Trennzeichen das Komma, der senkrechte Strich oder das Semikolon erlaubt. Es gibt folgende Arten:

das abgeschlossene Intervall [a;b]
Das Intervall enthält sowohl a als auch b.
Das Zeichen ≤ wird gesprochen: kleiner gleich

das offene Intervall (a;b) oder ]a;b[
Das Intervall enthält weder a noch b.

das halboffene Intervall (a;b],    [a;b) oder    ]a;b]; [a;b[   (linksseitig offen bzw. rechtsseitig offen)
Das Intervall enthält a, nicht aber b.

Das unendliche Intervall   [0;∞[    gilt als abgeschlossen, obwohl die rechte Klammer offen ist.
In diesem Fall ist das Intervall identisch mit R₊, der Menge der positiven reellen Zahlen.

ÜBUNGEN

Übung 1 Welche Zahlenbereiche enthalten alle Elemente dieser Mengen?

Übung 2: Formulieren Sie mit Wörtern und Sätzen:

1. Das Intervall [0;8[ enthält alle Zahlen, die sind. Es ist ein Intervall.

2. Das Intervall (2;10) enthält alle Zahlen, die Es ist ein Intervall.

3. Das Intervall [3;7] enthält alle Zahlen, die Es ist ein Intervall.

4. Das Intervall [0; -∞[ enthält alle Zahlen. Es ist ein Intervall.

Tipp: Erklären Sie anderen Studierenden die unterschiedlichen Intervalle und Zahlenbereiche!

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