Definieren 

Was ist eine Definition?

Mit einer Definition wird festgelegt, wofür ein Begriff benutzt werden soll und wofür nicht. Zum Definieren verwendet man Grundbegriffe oder bereits definierte Begriffe. Sprachlich brauchen wir immer zwei Teile:

das, was definiert werden soll :=das Definierende

Der Doppelpunkt steht immer auf der Seite des Gleichheitszeichens, auf der der zu definierende Begriff steht.

In der philosophischen Logik nennt man das, was definiert werden soll, auch das Definiendum (das zu Definierende), aber das dürften Sie in der Mathematik wohl kaum jemals hören.

Das Definierende (lat: Definiens) sind bekannte, bereits definierte oder allgemein als ausreichend klar angesehene Begriffe, die den zu definierenden Begriff möglichst eindeutig bestimmen.

Beispiel: Menge (=Definiendum) := Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen (=Definiens) [A1/1]

Sprachlich gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Definition zu formulieren:

1. mit dem Verb "sein"

Eine Menge ist die Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen. 

Das ist zwar grammatisch korrekt, klingt aber nicht sehr elegant. Vor allem kann man bei dem Verb "ist" nicht erkennen, ob es sich um eine Tatsachenfeststellung oder eine Definition handelt.

2. verstehen unter + Dat.

Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen.

3. heißen + Nom, meist ohne Artikel; nennen + Akk; bezeichnen als + Akk; bezeichnen mit

Eine Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge { }.
Eine Menge, die keine Elemente enthält, bezeichnet man als leere Menge { }.
Eine Menge, die keine Elemente enthält, nennt man leere Menge { }.

Beachten Sie, dass hier die Stellung von Definiendum und Definiens vertauscht ist!
Statt "man" wird von Mathematikern oft auch das Pronomen "wir" verwendet.

Die letzten beiden Definitionen kann man auch im Passiv verwenden:

Eine Menge, die keine Elemente enthält,
... wird leere Menge genannt.
... wird als leere Menge bezeichnet.

4. Definieren mit Konditionalgefüge

A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element der Menge A auch Element der Menge B ist.
Ist jedes Element der Menge A auch Element der Menge B, so ist A Teilmenge von B.

Bei mathematischen Definitionen wird oft eine besondere Verbform benutzt:

Eine Zahl größer als 1, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heiße Primzahl.

Seien t und n ganze Zahlen. Dann heißt t ein Teiler von n, falls es eine ganze Zahl s gibt mit t·s = n.

Bisher nahm ich immer an, dass es sich hier um den Konjunktiv I handelt. Der Logik nach handelt es sich jedoch eher um einen (veralteten) Imperativ - so wie die preußischen Könige ihre Befehle mit "Es sei!" abschlossen. Man könnte diese Formulierung daher eher mit

"Sie soll Primzahl heißen!" oder "Wir legen fest, dass t und n ganze Zahlen sind." umschreiben.

5. Formale Definition

Beispiel: und n hat nur 1 und n als positive Teiler.

Bitte verlassen Sie sich nicht darauf, dass andere diese Definition leicht verstehen. Sie müssen immer in der Lage sein, zwischen der formalen und der verbalen Beschreibung umzuschalten. In diesem Beispiel könnte die "Übersetzung" so lauten:

Die Menge P der Primzahlen enthält alle ganzen Zahlen n, die größer als 1 sind und nur durch 1 und sich selbst geteilt werden können.

Wenn Benennungen (P, n) definiert sind, sollten Sie diese auch in der sprachlichen Definition verwenden.

ÜBUNGEN

Übung: Ergänzen Sie die sprachliche Definition . Manchemal gibt es mehrere Lösungen.

1. Die Menge aller Elemente, die zu A und B gehören, Schnittmenge.

2. Als Vereinigungsmenge man die Menge aller Elemente, die zu A oder B gehören.

3. jedes Element der Menge A auch Element der Menge B. Dann ist A Teilmenge von B.

4. Die Menge aller Elemente, die zu A und nicht zu B gehören, wird Differenzmenge .

5. Gehören alle Elemente der Menge A auch zur Menge B, so man von einer unechten Teilmenge.

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