Der Beweis

Basiswortschatz

Mathematische Aussagen muss man beweisen. Der Beweis hat in der Regel die Form p ⇒ q, wobei  p und q Aussagen sind. Das wird gesprochen: Aus p folgt q.

q ist die Aussage, die bewiesen werden soll. Sie heißt Behauptung oder Hypothese. p ist eine Aussage, die bereits bekannt oder bewiesen ist. Der Beweis ist gelungen, wenn aus aus der Behauptung p widerspruchsfrei die Behauptung q folgt.

Beispiel:

Behauptung: Das Quadrat einer geraden natürlichen Zahl n ist gerade.
Beweis:
Annahme: Sei n eine gerade natürliche Zahl.
Folgerung 1: Dann lässt sich n eindeutig darstellen als n = 2k wobei k eine natürliche Zahl ist.
Folgerung 2: Daraus folgt:  ist durch 4 teilbar also gerade.
q.e.d. (lateinisch: quod erat demonstrandum; deutsch: was zu beweisen war.)

Im Mathematikkurs lernen Sie ein häufig benutztes Beweisverfahren in der Mathematik kennen: die vollständige Induktion
(s. Mathematikskript A1.3)

Die Sache mit dem Konjunktiv

Das "Sei" in der obigen Annahme ist nicht etwa ein Konjunktiv I, sondern wie in der letzten Lektion eine Festlegung ("Es soll so sein!"):
Wir legen fest oder wir nehmen als Ausgangspunkt unserer Überlegungen an, dass n eine gerade, natürliche Zahl ist.

Den Konjunktiv II kann man jedoch beim indirekten Beweis benutzen:

Beispiel:
Behauptung: ist keine rationale Zahl.
Beim indirekten Beweis gehen wir von einer Annahme aus, die nicht real ist. (Irrealis = Konjunktiv II):
Wenn eine rationale Zahl wäre, dann gäbe es p, q ∈ N, so dass .
Da jede Quadratzahl Primzahlen in gerader Anzahl enthält, enthielte die linke Seite den Primfaktor 2 in ungerader Anzahl und die rechte Seite in gerader Anzahl. Das ist ein Widerspruch.

Aber machen Sie sich bitte nicht so viele Gedanken darüber. Man kann das ebenso im Indikativ formulieren.

ÜBUNGEN

Beweise kann man leider nicht mit Lückentexten oder Auswahlantworten üben. Deshalb mein Vorschlag: Üben Sie Beweise in den Mathematikveranstaltungen und sprechen Sie darüber!