Vektoralgeba 1

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Vektoren in der Physik

Viele Größen in der Physik können durch eine Maßzahl und eine Einheit dargestellt werden, wie z.B. die Temperatur oder die Zeit. Man nennt diese Größen skalar. (Nomen: der Skalar). Bei anderen Größen reicht das nicht aus, hier muss man auch noch eine Richtung im Raum angeben, um sinnvoll damit arbeiten zu können. Das ist z.B. bei der Kraft oder der Geschwindigkeit der Fall. Solche gerichteten Größen sind vektoriell, es handelt sich um Vektoren. (Singular: der Vektor).

Vektoren kann man sich auch als Ergebnis der Verschiebung eines Punktes vorstellen. Verschiebt man einen Punkt A an eine andere Stelle im Koordinatensystem, so ergibt sich ein geordnetes Paar von 2 Punkten. Dieses Paar definiert eine gerichtete Strecke vom Urpunkt A zum Bildpunkt B. Diese Strecke ist ein Vektor. Ein Pfeil besteht übrigens aus einem Schaft und einer Spitze.

Graphische Darstellung von Vektoren

Vektoren kann man graphisch als Vektorpfeil darstellen. Die Länge des Pfeils entspricht dem Betrag des Vektors. Die Richtung ist durch seine Komponenten in x-, y- (im Raum zusätzlich in z-Richtung) festgelegt. Um auch die Lage von Vektoren eindeutig festzulegen, brauchen wir eine Basis, z.B. ein Koordinatensystem.

Da zunächst nur Betrag und Richtung definiert sind, kann man Vektoren beliebig parallel verschieben. Manchmal ist es jedoch zweckmäßig, diese Freiheit zu begrenzen. (s. Abbildung unten)

Freie Vektoren können beliebig parallel verschoben werden. Der gezeichnete Vektor ist daher nur ein Repräsentant für eine Menge von parallelen Vektoren.
Linienflüchtige Vektoren kann man nur entlang ihrer Wirkungslinie verschieben.
Ortsgebundene Vektoren haben einen festen Anfangspunkt, sie sind also gar nicht verschiebbar.

Fassen Sie die Vektoren am Fußpunkt an und probieren Sie die Verschiebbarkeit aus.
Wenn Java die Anzeige des Apletts verweigert, sehen Sie bitte hier nach.

Darstellung von Vektoren als Tupel

Vektoren kann man als Zahlentupel in runden Klammern schreiben. Dabei ist es gleichgültig, ob man die Komponenten waagerecht (Reihenfolge von links nach rechts) oder senkrecht (Reihenfolge von oben nach unten) schreibt. Im ersten Fall sprechen wir von einem Zeilenvektor, im zweiten Fall von einem Spaltenvektor.

Zeilenvektor: (a₁, a₂, a₃) Spaltenvektor:

Der Einheitsvektor

Ein Vektor mit der Länge 1 heißt Einheitsvektor. Die Operation, die einen beliebigen Vektor auf die Länge 1 überführt, nennt man normieren.

Abbildung rechts: Die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem

Anmerkungen zum Schreiben von Vektoren

Dass man Vektoren mit einem Pfeil über dem Buchstaben schreiben muss, ist genau so wenig Pflicht wie die Verwendung von griechischen Buchstaben für Skalare. Auch die Vorschrift, Variablen kursiv zu schreiben, steht nicht im Strafgesetzbuch. Gerade wenn man mit dem Computer schreibt, ist es lästig, dauernd die Sonderzeichen zu durchsuchen oder einzelne Buchstaben kursiv zu formatieren.

Statt können Sie also genau so gut schreiben:

b = k₁v₁+ ... +k_nv_n.

Allerdings muss klar sein, dass es sich bei v_i um Vektoren handelt. Die Zusatzinformation "b, v ∈ V" sorgt notfalls dafür, dass jeder weiß, dass alle b und v Elemente eines Vektorraums sind. Sollte Ihr/e Mathematik-Dozent/in allerdings Pfeile verlangen - tun Sie ihm/ihr den Gefallen! Es sorgt wahrscheinlich auch für Sie selbst für mehr Klarheit.

ÜBUNGEN

Übung 1: physikalische Größen - Skalar oder Vektor?

1. die Zeit 2. die Geschwindigkeit 3. die Kraft 4. die Temperatur

Übung 2: Setzen Sie die Wörter in der korrekten sprachlichen Form ein. Achten Sie auch auf Groß- und Kleinschreibung.

Wird neben der Maßzahl und der auch noch die Richtung angegeben, so handelt es sich um eine Größe. Größen ohne Richtung heißen Zwei Vektoren heißen dann gleich, wenn sie in und Richtung übereinstimmen. Die Richtung eines Vektors kann durch seine in x-, y- und z-Richtung beschrieben werden. Ein Vektor mit der Länge 1 heißt .

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