Vektorraum, Erzeugendensystem und Basis

Erzeugendensysteme

(Ab jetzt werden Vektoren ohne den Pfeil über dem Buchstaben und Variablen nicht mehr kursiv geschrieben. Das ist nicht nur in vielen Mathematikbüchern so, sondern auch beim Schreiben mit dem Computer wesentlich einfacher.)

In der vorherigen Lektion haben Sie den Begriff der Dimension kennen gelernt. Ein Beispiel aus dem zweidimensionalen Vektorraum R2:

Die Vektoren

haben offensichtlich verschiedene Richtungen. Sie sind nicht kollinear. Man kann daher alle Vektoren der Ebene als Linearkombination von jeweils zwei dieser Vektoren "erzeugen" und zwar wahlweise aus a und b, aus b und c oder aus a und c. Man nennt eine solche Menge von Vektoren deshalb ein Erzeugendensystem. Aber genau genommen ist jeweils einer dieser drei Vektoren überflüssig, denn er kann selbst als Linearkombination der beiden anderen dargestellt werden.

Basis

Wenn wir aus einem Erzeugendensystem alle "überflüssigen" Vektoren wegnehmen, erhalten wir die minimale Anzahl von Vektoren, aus denen man den Vektorraum aufbauen kann. Diese Menge nennt man eine Basis. Wenn außerdem die Beträge dieser Vektoren 1 sind, heißen sie Einheitsvektoren. Wenn sie mit den Achsen des karthesischen Koordinatensystems übereinstimmen, nennt man sie kanonische Basis.

Halten wir fest:

In einem Vektorraum mit 2 Dimensionen (R2) besteht jede Basis aus genau zwei linear unabhängigen Vektoren.
In einem Vektorraum mit 3 Dimensionen (R3) besteht jede Basis aus genau drei linear unabhängigen Vektoren.
In einem Vektorraum mit 4 Dimensionen .....

Vektorräume mit n Dimensionen

R2 und R3 kann man sich noch relativ einfach als geometrische Objekte, nämlich Ebene und Raum, vorstellen. Bei der Betrachtung von mehr als drei Dimensionen (Warum sollten lineare Gleichungssysteme nur drei Unbekannte haben?) müssen wir auf die Anschauung leider verzichten, aber im Prinzip ändert sich wenig:

Von n linear unabhängigen Vektoren wird ein n-dimensionaler Vektorraum aufgespannt. Sie bilden eine Basis dieses Vektorraums. Innerhalb dieses Vektorraums lässt sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren ausdrücken.

Definition des Vektorraums

Ein Vektorraum V über einem Körper K ist eine Menge von Vektoren, die man addieren und mit den Elementen von K multiplizieren kann. Die Elemente von V heißen Vektoren; die Elemente von K werden Skalare genannt.

Für die Multiplikation von Vektoren müssen folgende Gesetze erfüllt sein:

Assoziativität:

u + (v + w) = (u + v) + w

Existenz eines Nullvektors: Es gibt einen Vektor, den wir mit o bezeichnen, mit folgender Eigenschaft:

v + o = v

Existenz negativer Vektoren: Zu jedem Vektor v gibt es einen Vektor -v mit:

v + (-v) = o

Kommutativität:

u + v = v + u

Für die Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar gelten:

Assoziativität:

x y v = (x y) v = x ( y v)

Es gibt ein neutrales Element (in R: n = 1):

n v = v

Distributivität:

(x + y)v = x v + y v
x (u + v) = x u + x v

sprachliche Anmerkung: Mit "Körper" ist hier kein geometrischer Körper wie z.B. ein Würfel gemeint, sondern ein algebraischer Körper. (englisch: field) Darunter versteht man eine Struktur, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchgeführt werden können. Der Körper, mit dem Sie am häufigsten zu tun haben, ist der Körper R der reellen Zahlen.  

Übungen

Entscheiden Sie: Erzeugendensystem, Basis, kanonische Basis?
(Es schadet nicht, die Wörter einige Male zu schreiben!)

1.

2.          

3.         

4.        

5.          

6.      

7.      

8.     

Für die Darstellung mathematischer Formeln und für interaktive Aufgaben muss JavaScript aktiviert sein.