Lineare Abhängigkeit von Vektoren

So steht es in unserem Mathematikskript:

Ist Ihnen das auch etwas zu abstrakt? Versuchen wir es etwas anschaulicher für uns mathemathische Nicht-Profis!

Zwei Dimensionen

Wie wir bereits wissen, ändert die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar nur die Länge des Vektors, seine Richtung bleibt jedoch gleich. Zwei Vektoren und , die sich durch eine Multiplikation mit einer reellen Zahl ineinander überführen lassen, haben also die gleiche Richtung. Sie sind linear abhängig voneinander. Da sie eine gemeinsame Richtung haben (alle ihre Repräsentanten sind parallel), nennt man sie kollinear. Ein Vektor bildet einen Vektorraum mit der Dimension 1. (Zum Begriff Vektorraum s. nächste Lektion)

Ein anschauliches Beispiel: An einen Zug, der auf einer geraden Strecke steht, kann ich hinten noch einen Wagen und vorne noch eine Lokomotive anhängen. Seine Richtung ändert sich dadurch nicht.

Aus zwei linear unabhängigen Vektoren, einfacher gesagt: aus zwei Vektoren, die auf der gleichen Ebene liegen, aber nicht die gleiche Richtung haben, kann man alle anderen Vektoren dieser Ebene als Linearkombination erzeugen

Aus diesen Überlegungen ergibt sich eine wichtige Folgerung:

Zwei linear unabhängige Vektoren spannen eine Ebene auf. Sie sind eine Basis dieser Ebene. Alle Vektoren dieser Ebene sind linear von diesen beiden Vektoren abhängig. Die Dimension des Vektorraums ist 2.

Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sich ein Vektor oder sein skalares Vielfaches durch die Addition der beiden anderen Vektoren oder ihrer skalaren Vielfachen ergibt. Man nennt sie komplanar, weil sie alle auf einer Ebene liegen. Die Dimension ist also immer noch 2.

Formal ausgedrückt: Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn gilt:

Anschauliches Beispiel: Wenn Sie alle Ihre Schreibstifte auf den Tisch werfen, werden sie sicher nicht alle dieselbe Richtung einnehmen, aber alle werden auf der ebenen Tischplatte liegen (komplanar). Bevor Die Stifte den Tisch erreichen, werden sie allerdings verschiedene Richtungen im Raum einnehmen. Um alle Punkte im Raum zu bestimmen, brauchen wir aber nur drei Stifte zu betrachten, die in verschiedene Richtungen zeigen.

Drei linear unabhängige Vektoren spannen einen Vektorraum mit der Dimension 3 auf. Sie bilden eine Basis dieses Raums. Alle anderen Vektoren in diesem Raum sind von diesen linear abhängig.

Anders herum: die Linearkombination

Nun möchte ich Ihnen noch eine Erklärung für lineare Abhängigkeit anbieten, die aus der anderen Richtung funktioniert:

Eine Linearkombination der Vektoren , , ist ein Vektor mit der Form

.

Sprachlich ausgedrückt:

Eine Linearkombination mehrerer Vektoren ist ein Vektor, der aus der Addition der skalaren Vielfachen der einzelnen Vektoren entsteht. Sie haben dies übrigens schon bei der Konstruktion des Ortsvektors aus den Einheitsvektoren des Koordinatensystems verwendet und verstanden!

Ein Sonderfall liegt vor, wenn alle Skalare k₁, k₂, k₃ gleich 0 sind. Dann ist logischerweise die Länge der Vektoren 0 und die daraus resultierende Linearkombination ist der Nullvektor . Man nennt dies die triviale Linearkombination.

Und nun die Definition::

Man nennt , , linear unabhängig, wenn diese triviale Linearkombination die einzige ist, die den Nullvektor liefert.

Daraus folgt eine Aussage, die mich immer wieder fasziniert:

"Die Vektoren heißen linear abhängig, falls sie nicht linear unabhängig sind."*

Anders gesagt: Wenn es in der Linearkombination = 0 mindestens einen Skalar k_i ≠ 0 gibt, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Noch mehr verwirrt? Dann vergessen Sie diesen Abschnitt! Mir hat er geholfen.

*aus: Beutelspacher (2010): S. 54

ÜBUNGEN

Übung 1: Richtig oder falsch?

??? richtig falsch Zwei Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn keiner ein skalares Vielfaches des anderen ist.

??? richtig falsch Ein einzelner Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn er nicht der Nullvektor ist.

??? richtig falsch In der euklidischen Ebene gibt es genau zwei linear unabhängige Vektoren. Alle anderen sind von ihnen linear abhängig.

Für Spezialisten:

??? richtig falsch Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix der Vektoren gleich 0 ist, dann sind linear abhängig.

Weitere Übungen können noch folgen, wenn Sie (Lehrende + Lernende) Ideen haben.

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