Funktionen

Sicher wissen Sie schon aus der Schule, was eine Funktion ist. Deshalb beginnt diese Lektion mit einer Menge von Fachbegriffen, wie sie in Deutschland verwendet werden. Am besten vergleichen Sie die Formulierung mit der, die Sie in Ihrer Muttersprache wählen würden.

Definition: Eine Funktion f : X → Y von der Menge X in die Menge Y ist eine Vorschrift, die jedem Element x der Menge X genau ein Element y der Menge Y zuordnet.

Dieses zugeordnete Element der Menge Y wird als f(x) [gesprochen: f von x] oder als y bezeichnet. Die Menge X heißt Definitionsbereich. Man sagt auch, dass f auf der Menge X definiert ist. Das Symbol x steht hier für ein beliebiges Element der Menge X. Man bezeichnet es als unabhängige Variable, da es beliebig - von nichts abhängig - vorgegeben werden kann. Eine andere Bezeichnung dafür ist Argument. Die Menge Y heißt Wertebereich oder Zielmenge.

Ein konkreter Wert der unabhängigen Variablen (des Arguments) wird auch als Stelle oder auch als x-Wert bezeichnet. Die Funktion wird auf die Elemente von X angewandt (angewendet), in anderen Worten: Elemente von X werden in die Funktion eingesetzt.

Definitionslücken

Die Funktion

ist bei x = 0 nicht definiert, da man nicht durch 0 dividieren kann. In diesem Fall muss der Definitionsbereich der Funktion eingeschränkt werden. Das schreibt und spricht man so:

D = R \ {0} Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen außer Null. oder:

D = {x | x ∈ R, x ≠ 0} Definitionsbereich x, wobei gilt: x ist reell und nicht gleich Null.

Funktionen im Koordinatensystem

Jeder Wert x des Definitionsbereichs einer Funktion entspricht mindestens einem Wert f(x) des Wertebereichs. Ein Wertepaar (x, f(x)) kann man als Koordinaten eines Punktes in der Zeichenebene sehen. Daraus folgt:

Definition: Der Graph einer Funktion ist die Menge der Punkte in einem Koordinatensystem mit den Koordinaten (x, f(x)).

Der Graph entsteht, indem die Werte des Definitionsbereichs (x-Werte) in horizontaler Richtung (auf der x-Achse) abgetragen werden und die Werte des Wertebereichs (y-Werte, Funktionswerte) in vertikaler Richtung, also auf der y-Achse. Somit kann man als Funktionsgleichung schreiben:

y = f(x)

Sprachliche Anmerkungen:

Statt x werden je nach Anwendung auch andere Buchstaben benutzt, dann heißt die Abszisse entsprechend t-Achse, k-Achse usw.

Der Begriff „Stelle“ bezeichnet in diesem Zusammenhang nicht einen Ort, sondern einen x-Wert. Man denkt dabei an die Stelle (den Ort) auf der x-Achse, die diesem Wert entspricht. Auch die Frage „wo“ bezieht sich auf einen x-Wert.

Beispiel: Wo hat die Funktion y=x² den Wert 0?
Antwort: an der Stelle x=0 oder bei x=0 oder in x=0 .