Produktmenge und Relation

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Die Produktmenge A × B

In der Lektion über Mengen haben wir gesehen, wie aus zwei Mengen eine dritte Menge gebildet werden kann. Eine wichtige Menge ist die Produktmenge oder das kartesische Produkt von zwei Mengen. Um die Produktmenge aus den Mengen A und B zu erzeugen, bildet man in aufsteigender Reihenfolge geordnete Paare aus jeweils einem Element von A und einem Element von B. Alle möglichen Paare bilden dann das kartesische Produkt. Man schreibt die Paare in Klammern und trennt mit dem Semikolon, Strich oder Komma. An der Universität wird meist das Komma benutzt. Mathematiker bevorzugen meist das Komma, Physiker bevorzugen das Semikolon, da es dann keine Missverständnisse gibt, wenn die Mengen Dezimalzahlen enthalten.

Das kartesische Produkt wird geschrieben: A × B  und gesprochen: "A kreuz B".

Beispiel:

Seien

A = {2;3;4;5} und B = {2;4;6}

Dann ist

A × B =  {(2;2),(2;4),(2;6),
               (3;2),(3;4),(3;6),
               (4;2),(4;4),(4;6),
               (5;2),(5;4),(5;6)}

Definition: Unter dem kartesischen Produkt oder der Produktmenge A × B zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller geordneten Paare (x , y) mit x ∈ A und y ∈ B.

A × B = {(x , y) | x ∈A ∧ y ∈B}

Die Relation R

Definition: Unter einer Relation R mit (x , y) | x ∈ A auf dem kartesischen Produkt A × B versteht man eine echte oder unechte Teilmenge der Produktmenge A × B.

R ⊆ A × B

Während die Produktmenge aber alle möglichen Paare aus A und B enthält, sind in R nur diejenigen Paare, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.

Beispiel:

Sei A × B =  {(2;2),(2;4),(2;6),(3;2),(3;4),(3;6),(4;2),(4;4),(4;6), (5;2),(5;4),(5;6)}

und die Bedingung: x + y < 6

Alle Paare, deren Summe größer als 5 ist, dallen damit weg. Somit ergibt sich als Lösungsmenge:

R = {(2;2),(3;2)}

Definitionsbereich und Wertebereich

Definition:
In einer Relation R heißt die Menge aller Elemente von A, zu denen es mindestens ein Element aus B gibt, Definitionsbereich.

In dem obigen Beispiel R = {(2;2),(3;2)} sind demnach 2 und 3 die Elemente des Definitionsbereichs D(R).

D(R) = {2;3}

Definition:
In einer Relation R heißt die Menge aller Elemente von B, zu denen es mindestens ein Element im Definitionsbereich gibt, Wertebereich.

Im obigen Beispiel gibt es nur ein Element in B, das mit Elementen aus A verknüpft ist, nämlich das Element {2}. Daher ist

W(R) = {2}

Finden Sie diese Definitionen zu abstrakt? Die Bezeichnungen "Definitionsbereich" und "Wertebereich" werden anschaulicher, wenn man Funktionen betrachtet.

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