Winkelfunktionen

Vor der Bearbeitung dieser Lektion sollten Sie die Lektion über Winkel bearbeitet haben.

zur Erinnerung: die Winkelfunktionen

Sicher haben Sie bereits in der Schule die Winkelfunktionen gelernt. Zur Sicherheit hier noch einmal zusammengefasst:

Abbildung links: ein rechtwinkliges Dreieck. Die Seiten werden gegen den Uhrzeigersinn mit a, b und c bezeichnet. Der der Seite a gegenüber liegende Winkel heißt α, der rechte Winkel liegt der Seite c gegenüber und heißt daher γ. Die γ gegenüber liegende Seite c heißt Hypotenuse. Die beiden Schenkel des rechten Winkels sind die Katheten. (a heißt Gegenkathete, b heißt Ankathete)

Die trigonometrischen Funktionen Sinus (sin x), Cosinus [auch: Kosinus] (cos x), Tangens (tan x) und Cotangens [auch: Kotangens] (cot x) bezeichnen die Seitenverhältnisse eines in einen Kreis einbeschriebenen rechtwinkligen Dreiecks. , dessen Hypotenuse sich wie ein Zeiger in positiver Drehrichtung bewegt. (s.u.) Zur Veranschaulichung bewegen Sie den Punkt auf der x-Achse und beobachten dabei die Funktionswerte!

sin α = Gegenkathete / Hypotenuse

cos α = Ankathete / Hypotenuse

tan α = Gegenkathete / Ankathete

cot α = Ankathete / Gegenkathete

Da sich die Hypotenuse im Einheitskreis wie der Zeiger einer Uhr (allerdings im Gegenuhrzeigersinn) bewegt, nennt man solche Diagramme auch Zeigerdiagramm.

Sinus und Cosinus

Die Sinusfunktion ist auf streng monoton steigend.

Die Cosinusfunktion ist auf [ 0; π] streng monoton fallend.

Periode, Amplitude und Phase

Die Winkelfunktionen spielen in der Physik eine große Rolle, da sich Schwingungen (mechanische Schwingungen, Schallwellen, Wechselstrom oder elektromagnetische Wellen) als Sinusfunktion bzw. Cosinusfunktion darstellen lassen.

Die Winkelfunktionen sind periodisch. Die Periode p entspricht einer Umdrehung des Zeigers im Einheitskreis und damit 360° oder im Bogenmaß ausgedrückt 2π . Am Funktionsgraphen der Funktion y = sin α kann man sehen, dass sich die charakteristische Welle jeweils nach 2π wiederholt. In der Physik bezeichnet man die Sinusfunktion zwischen 0 und 2π als Welle, die aus einer positiven und einer negativen Halbwelle besteht.

Wegen der Periodizität betrachtet man z.B. zur Untersuchung des Symmetrieverhaltens nur den Definitionsbereich um den Ursprung.

Sinusfunktion und Cosinusfunktion sind beschränkt. Sie können nur einen maximalen bzw. minimalen Funktionswert haben. Dieses Maximum heißt Amplitude. In der Physik charakterisiert die Amplitude oft die Stärke einer Schwingung (Auslenkung eines Pendels oder einer Feder, Lautstärke u.ä.).

Der Begriff der Phase stammt ebenfalls aus der Physik und bezeichnet eigentlich einen Zeitraum. Wenn Sie sich vorstellen, dass sich der Zeiger im Einheitskreis mit konstanter Geschwindigkeit dreht, dann entspricht der Winkel zwischen dem Zeiger und der Horizontalen einer bestimmten Zeit (=Phase). Man bezeichnet diesen Winkel daher als Phasenwinkel φ. Er ist genau genommen ein Zeitmaß. Stellen Sie sich nun vor, dass ein zweiter Zeiger kurze Zeit später mit der Drehung beginnt. In diesem Fall wird der Funktionsgraph um die Winkeldifferenz Δφ der beiden Zeiger nach rechts verschoben. Man spricht von einer Phasenverschiebung.

Beispiel oben: Zwei sinusförmige Wechselspannungen U1 und U2. U2 ist um 45° nach rechts phasenverschoben.

Operationen mit Sinus und Cosinus:

y = sin (bx) (b verändert die Periode.)

y = A sin x (A verändert die Amplitude.)

y = cos (x + φ) (φ verschiebt die Phase.)

Abb. links:

blau: y = sin x ; rot: y = sin 2x; grün: y = 2 sin x

Übung

Welche Bedeutung haben die Vorzeichen von b, A und φ?

1. b > 0

2. b < 0

3. A > 0

4. A < 0

5. φ > 0

6. φ < 0

Tangens und Cotangens

Hierbei gibt es eigentlich keine neuen Wörter zu lernen. Für die mathematische Erklärung s. Skript Kapitel A7.3.2