Potenzfunktionen und Polynome

Eine reelle Funktion

f(x) = xⁿ ,   n ∈N

heißt Potenzfunktion vom Grad n.

Für n = 0 ergibt sich eine konstante Funktion, deren Graph parallel zur x-Achse verläuft.

Für n = 1 ergibt sich eine lineare Funktion f(x) = x, deren Graph eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1 ist.

Für n = 2 ergibt sich eine quadratische Funktion, eine Normalparabel

Für n = 3 ergibt sich eine kubische Funktion

Abbildung links: f(x) = x³ [n = 3]

Symmetrieverhalten von Potenzfunktionen

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten bezeichnet man auch als gerade Funktionen, Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten heißen ungerade.

Satz: Gerade Funktionen sind immer achsensymmetrisch zur y-Achse. Es gilt:

f(-x) = f(x)

Satz: Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0). Es gilt:

f(-x) = - f(x)

Das Polynom = Die ganzrationale Funktion

In der elementaren Algebra bezeichnet man als Polynom die Summe der Vielfachen von Potenzen mit ganzzahligen Variablen. In der Schulmathematik wird dies auch als ganzrationale Funktion bezeichnet, weil alle vorkommenden Exponenten ganzzahlig sind. Eine Funktion

f(x) = a₅ x⁵ + a₄ x⁴ - a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀

ist somit ein Polynom fünften Grades bzw. eine ganzrationale Funktion fünften Grades. Für die Bestimmung des Grades eines Polynoms ist die höchste Potenz, die in der Funktionsgleichung vorkommt, ausschlaggebend. a₀ ... a₅ heißen Koeffizienten der Funktion.

Polynome mit ausschließlich geraden Exponenten heißen gerade und sind symmetrisch zur y-Achse.

Polynome mit ausschließlich ungeraden Exponenten heißen ungerade und sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

gebrochen rationale Funktionen

Sind g(x) und h(x) Polynome, so heißt eine Funktion der Form gebrochen rational.

Definition: Unter einer gebrochen rationalen Funktion versteht man den Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome), dem Zählerpolynom und dem Nennerpolynom.

Die links abgebildete Funktion hat bei x = 1 eine Unendlichkeitsstelle oder Polstelle. Die gestrichelte Gerade ist diejenige Gerade, der sich der Funktionsgraph bei sehr großen y-Werten annähert (manche sagen auch: anschmiegt). Sie heißt Asymptote.

Die Hyperbel

Potenzfunktionen der Form f(x) = ax^-n,    n ∈ N*; a, x ∈ R*  heißen Hyperbeln.

Sie haben bei x = 0 eine Polstelle. Ihre Asymptote für x → ±∞ [gesprochen: für x gegen plusminus unendlich] ist y = 0.