Quadratische Funktionen und Parabel

Die Parabel

Die einfachste quadratische Funktion ist

f(x) = x²,    D = R

Ihr Graph wird Normalparabel genannt. Die Normalparabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Sie ist nach oben geöffnet. Der Schnittpunkt von Symmetrieachse und Parabel heißt Scheitelpunkt.

Der y-Wert der Normalparabel an der Stelle x = 0 ist 0. Die Funktion hat hier eine Nullstelle.

spiegeln, verschieben, strecken, stauchen

Diese Wörter machen Sie sich am besten selbst anschaulich klar, indem Sie die entsprechenden Graphen in dem Fenster links erzeugen.

Die Normalparabel kann - wie viele andere Funktionsgraphen - verschoben, gestreckt und gestaucht werden. Die Variablen, die dafür verantwortlich sind, nennt man Koeffizienten.

Verschieben Sie die Schieberegler für die Koeffizienten a und c entsprechend und beobachten Sie die Veränderung des Graphen.

Sei f(x) = x²,

dann entsteht der Funktionsgraph von g(x) durch:

Spiegelung an der x-Achse: g(x) = –x²                         (a = –1, Diese Parabel ist nach unten geöffnet.)

Verschieben in Richtung der y-Achse: g(x) = x² + a      ( a ≠ 0)

Verschieben in Richtung der x-Achse: g(x ) = (x + a)²   (leider mit diesem Aplett nicht möglich)

Streckung in y-Richtung: g(x) = ax² = a f(x)

Stauchung in y-Richtung: g(x) = x² / a = f(x) / a

Quadratische Funktionen allgemein

Die allgemeine Funktionsgleichung für quadratische Funktionen ist

f(x) = ax² + bx + c

Übung (Test - noch keine interaktiven Funktionen)

Übung 1: Machen Sie sich noch einmal klar, wie sich die Koeffizienten a, b und c auswirken. Referieren Sie im Plenum!

Übung 2: Entscheiden Sie, welcher Buchstabe A-G auf welchem Funktionsgraphen liegt.

1. y = x²                

2. y = (x - 2)²      

3. y = 3x²  

4. y = x² + 2

5. y = -x²

6. y = 1/3 x²

Übung 3: Welcher Buchstabe entspricht der Aussage?

1. Die Normalparabel wurde gestreckt.

2. Sie wurde gestaucht.

3. Sie wurde an der Abszisse gespiegelt.

4. Sie wurde um 2 LE in y-Richtung verschoben.

5. Sie wurde nicht verändert.

6. Sie wurde um 2 LE* in x-Richtung verschoben.

*Die Abkürzung LE (Längeneinheit) bezeichnet eine Strecke mit der Länge 1.

Für die Darstellung mathematischer Formeln und für interaktive Aufgaben muss JavaScript aktiviert sein.