Eigenschaften von Funktionsgraphen (Wortschatz)

Diese Lektion stellt den Grundwortschatz zum Beschreiben von Funktionseigenschaften zusammen. Sie setzt voraus, dass Sie die in den vorhergehenden Lektionen behandelten Funktionen kennen. Sollte dies nicht der Fall sein, arbeiten Sie bitte vorher alle Lektionen über Funktionen durch.

Besondere Eigenschaften linearer Funktionen:

Interessant sind hier u.a. die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. (B,C)

Die Strecke vom Ursprung bis zum Achsenschnittpunkt heißt Achsenabschnitt

Abb. links: f(x) = x-1

In diesem Fall kann man aus den Achsenabschnitten die Steigung der Funktion berechnen. (vgl. Lektion "lineare Funktionen"). Ist die Steigung groß oder stark, so nennt man die Gerade steil. Ist die Steigung klein oder gering, so nennt man sie flach.

Eine Gerade mit der Steigung Null verläuft waagrerecht oder (besser:) parallel zur x-Achse.

Die Stelle, an der der Funktionsgraph die x-Achse schneidet, heißt Nullstelle, denn hier ist der Funktionswert y = 0. Lineare Funktionen mit einer Steigung ≠0 haben nur eine Nullstelle. Andere Funktionen können mehrere Nullstellen haben.

Eigenschaften anderer Funktionen

Extrema

In der Praxis ist oft die Frage wichtig, für welchen x-Wert der y-Wert maximal oder minimal ist. Ein maximaler oder minimaler y-Wert heißt Extremwert oder Extremum (Plural: Extrema). Es gibt globale und lokale Extrema.

Ein y-Wert, der größer als alle benachbarten Werte ist, heißt Maximum (Plural: Maxima). Wenn es im gesamten Definitionsbereich keine größeren Werte gibt, ist es ein globales Maximum, andernfalls handelt es sich um ein lokales Maximum.


Ein y-Wert, der kleiner als alle benachbarten Werte ist, heißt Minimum (Plural: Minima) bzw. Tiefpunkt.

Das Maximum bzw. Minimum einer quadratischen Funktion heißt Scheitelpunkt der Parabel.

Beschränktheit

Manche Funktionen können nur y-Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen, man nennt sie daher beschränkt. Die Funktion

f(x) = sin x

kann z.B. keine Funktionswerte y > 1 annehmen. Sie ist nach oben und nach unten beschränkt. Die obere Schranke kann man als Maximum bezeichnen (s.o.), die genaue Bezeichnung ist Supremum. Die untere Schranke wird auch als Infimum bezeichnet.

Nullstellen

Definition: Als Nullstelle bezeichnet man alle x-Werte einer Funktion, deren Funktionswert Null ist.

Bei der graphischen Darstellung sind die Nullstellen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.

Monotonieverhalten

"Monotonie" heißt in der Umgangssprache so viel wie "Langeweile". So ähnlich ist es auch bei Funktionen: Eine Funktion ist monoton, wenn nichts Interessantes passiert .... aber definieren wir lieber mathematisch korrekt:

Definition: Eine Funktion ist monoton wachsend (oder: monoton steigend),
wenn der Funktionswert mit größer werdendem x nicht kleiner wird,
d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1) ≤ f (x2) ist.

Definition: Sie heißt streng monoton wachsend (oder: streng monoton steigend),
wenn der Funktionswert mit größer werdendem x stets größer wird,
d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1) < f (x2) ist.

Definition: Sie heißt monoton fallend, wenn der Funktionswert mit größer werdendem x nicht größer wird,
d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1) ≥ f (x2) ist.

Definition: Sie heißt streng monoton fallend, wenn der Funktionswert mit größer werdendem x kleiner wird,
d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1) > f (x2) ist.

Krümmungsverhalten

Nicht lineare Funktionen sind gekrümmt. Man unterscheidet eine Rechtskrümmung und eine Linkskrümmung. Eine Funktion ist rechts gekrümmt, wenn ihre Steigung mit zunehmenden x-Werten abnimmt. Andernfalls ist sie links gekrümmt. Der Punkt, an dem eine Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergeht oder umgekehrt, heißt Wendepunkt.

Die abgebildete Funktion y = x³ hat für x < 0 eine Rechtskrümmung und für x > 0 eine Linkskrümmung. Der Wendepunkt W (0 | 0) ist bei x = 0. Hier ist gleichzeitig die einzige Nullstelle der Funktion.

Tangente und Sekante

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Funktionsgraphen an genau einem Punkt berührt. Die Steigung dieser Tangente entspricht der Steigung der Funktion an genau dieser Stelle. Die Tangente in einem Wendepunkt heißt Wendetangente.

Eine Gerade, die den Funktionsgraphen in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante.

Stetigkeit

Stetigkeit bedeutet in der Umgangssprache: gleichmäßig, ohne Sprung, vorhersehbar. Die mathematische Erklärung von Stetigkeit finden Sie im Skript oder im Kurs. Hier eine anschauliche Definition:

Eine reelle Funktion ist stetig, wenn man ihren Funktionsgraphen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Eine Funktion, die Definitionslücken oder Polstellen besitzt, ist an diesen Stellen nicht stetig.

Zur mathematischen Definition vgl. Skript A 8.2.