injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

Dieses Kapitel ist relativ abstrakt. Es wurde hier aufgenommen, weil auch in vielen Mathematikvorlesungen zur Analysis damit begonnen wird. Sie können das Kapitel auch überspringen und später darauf zurück kommen.

Zur Erinnerung hier noch einmal die Definition aus der vorigen Lektion:

Definition 1: Eine Funktion f : X → Y von der Menge X in die Menge Y ist eine Vorschrift, die jedem Element x der Menge X genau ein Element y der Menge Y zuordnet.

Zum Vergleich eine weitere Definition:

Definition 2: Eine Funktion ist eine Abbildung der Urbildmenge X auf die Bildmenge Y . (s. Abbildungen unten)

Der Begriff Funktion ist der speziellere Begriff. Funktionen sind auf Mengen von Zahlen definiert. Merken Sie sich bitte die Begriffe mit der gleichen Bedeutung:

Eine Funktion ist auch eine Abbildung (Aber nicht jede Abbildung ist eine Funktion!)

Der Definitionsbereich einer Funktion ist auch die Urbildmenge, der Urbildbereich, die unabhängige Variable, die Menge der x-Werte.

Ihr Wertebereich ist auch die Bildmenge, der Bildbereich, die abhängige Variable, die Menge der y-Werte.

injektiv

Eine Funktion f: M → N heißt f injektiv, falls die Gleichung

f(x) = y für y ∈ N

höchstens eine Lösung x ∈ M besitzt, d.h.

∀x₁, x₂ ∈ M : f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.

Alle Funktionswerte sind verschieden. Anders gesagt: Jedes Bild hat höchstens ein Urbild. (s. Abb. rechts) Anders gesagt: Kein Funktionswert darf mehrmals getroffen werden.

Injektive Funktionen kann man invertieren (deutsch: umkehren). Man erhält dabei die Inverse (deutsch: die Umkehrfunktion).

Beispiel: Die Funktion

f(x) = e^x

ist injektiv. Es gibt zu jedem x-Wert genau einen y-Wert. Kein y-Wert kommt mehrmals vor. Sie ist nicht surjektiv (s.u.), da die negativen y-Werte keinem x-Wert zugeordnet sind.

Die Umkehrfunktion von f(x) = e^x ist die Logarithmusfunktion f(x) = ln x.

surjektiv

Eine Funktion f: M → N heißt surjektiv, falls die Gleichung

f(x) = y

für jedes y ∈ M mindestens eine Lösung x ∈ N besitzt, d.h.

∀y ∈ N    ∃x ∈ N: y = f(x)

Alle Elemente des Wertebereichs sind auch Funktionswerte von einem (oder mehreren) Element(en) des Definitionsbereichs. Der gesamte Wertebereich wird ausgeschöpft.Das heißt, dass einem Wert y auch mehrere Werte x zugeordnet sein können. Anders gesagt: Jedes Bild hat mindestens ein Urbild. Anders gesagt: Alle Werte des Definitionsbereichs müssen mindestens einmal getroffen werden.

Beispiel: Die Funktion

f(x) = x³ + 2x²

ist surjektiv aber nicht injektiv. Alle y-Werte werden getroffen, einige jedoch mehrmals.

bijektiv

Sie ahnen es schon: Eine Funktion f ist bijektiv (eineindeutig), falls f injektiv und surjektiv ist.

Jedes Elemente des Wertebereichs ist hier Funktionswert von genau einem Element des Definitionsbereichs. Anders gesagt: Jedes Bild hat genau ein Urbild.

Beispiel: Die lineare Funktion

f(x) = x

ist bijektiv. Alle Werte des Definitionsbereichs werden getroffen und dies höchstens einmal.

Bedeutung des Definitionsbereichs

Durch die richtige Wahl des Definitionsbereichs und des Wertebereichs lassen sich Funktionen bijektiv machen.

Beispiel: Die Funktion

f(x) = x² (D = R, W = R) ist

• nicht injektiv, denn x und -x haben den gleichen y-Wert,
• nicht surjektiv, kein x-Wert wird auf einen negativen y-Wert abgebildet.

f(x) = x² (D = R+, W = R) ist

• injektiv, denn es gibt nur noch einen x-Wert zu jedem y-Wert,
• nicht surjektiv, kein negativer y-Wert hat ein Urbild..

f(x) = x² (D = R+, W = R+) ist

• injektiv (s.o.)
• surjektiv, denn allen y-Werten ist ein x-Wert zugeordnet
• also bijektiv

Überprüfen Sie nun bitte, ob die Definition 1 am Anfang der Seite im Widerspruch zu diesen Ausführungen steht. Diskutieren Sie das Problem ggf. in der Kleingruppe.

Alles zu theoretisch? Eine gut verständliche Erklärung habe ich in einem Forum der ETH Zürich gefunden:

In der Disko gibt es eine eine bestimmte Anzahl Männer (x) und Frauen (y).

Injektiv: Frauenüberschuss... Jeder Mann (x) hat sich eine Frau (y) geangelt, die anderen Frauen bleiben einsam und alleine.

Surjektiv: Männerüberschuss. Männer lassen sich aber nicht so schnell unterkriegen, entsprechend wirbt trotzdem jeder Mann um eine Frau, manche um die selbe. ⇒ Jedes y hat mindestens ein x, manche mehrere.

Bijektiv: Genau gleichviel Frauen und Männer, welche sich jeweils zu Paaren zusammentun. ⇒Jedes x hat genau ein y. (optimaler Fall, der in der Disko nie eintritt)

Übung

1. Die dargestellte Funktion ist:

??? injektiv aber nicht surjektiv surjektiv aber nicht injektiv weder injektiv noch surjektiv bijektiv                                            ??? injektiv aber nicht surjektiv surjektiv aber nicht injektiv weder injektiv noch surjektiv bijektiv   

??? injektiv aber nicht surjektiv surjektiv aber nicht injektiv weder injektiv noch surjektiv bijektiv                                            ??? injektiv aber nicht surjektiv surjektiv aber nicht injektiv weder injektiv noch surjektiv bijektiv

2. Erklären Sie sich selbst, einem Kommilitonen oder Ihrem Dozenten (ggf. in der Fantasie), warum das so ist!

Immer noch zu theoretisch? Dann arbeiten Sie bitte zunächst die folgenden Lektionen durch und kommen später auf diese Seite zurück.