Winkel

Zwei vom Scheitelpunkt S ausgehende Halbgeraden SA und SB bestimmen den Winkel  ∠ASB. Durch diesen Winkel wird eine Drehung festgelegt, welche  die durch A gehende Halbgerade in die durch B verlaufende überführt. Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels. Durch eine volle Drehung des Schenkels (A=B) ensteht ein Kreis.

Bei der Definition von Winkeln wird die Drehung gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) betrachtet. Winkel werden mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet.

Formulierungsmöglichkeiten: (Sei α = 30°)

Die Schenkel bilden den Winkel α. Die Halbgeraden a und b bilden einen Winkel von 30 Grad. Der Winkel α zwischen a und b beträgt 30 Grad. Die Schenkel schließen einen Winkel von 30° ein.

Winkelmaße

Zur Messung der Winkel benutzt man die Einheit Grad (Symbol: °). Dabei entspricht eine volle Drehung dem Wert 360°. Dieses Maß heißt Gradmaß.

Eine andere Möglichkeit ist das Bogenmaß. Dabei gehen wir vom Einheitskreis aus. Das ist ein Kreis mit dem Radius 1. In diesem Kreis beträgt der Umfang genau 2 π. Daher entspricht dem Umfang eine volle Drehung im Einheitskreis  der Wert 2π   Das Bogenmaß drückt also die Größe des Winkels durch die Länge des Kreisbogens im Einheitskreis aus. In einem beliebigen Kreis ergibt sich das Bogenmaß aus der Länge des Kreisbogens im Verhältnis zum Radius des Kreises aus. Oft steht "rad" dabei, das ist aber in diesem Fall keine Einheit sondern lediglich ein Hinweis.

Man kann mit der folgenden Formel Bogenmaß in Gradmaß umrechnen: 

Gradmaß und Bogenmaß: Sie können den Punkt C anfassen und auf dem Kreisbogen verschieben. Beobachten Sie dabei die Winkelmaße! Welche Gesetzmäßigkeiten können Sie erkennen?

Bezeichnungen für Winkel

    spitzer Winkel           rechter Winkel           stumpfer Winkel                      überstumpfer Winkel

    gestreckter Winkel: 180°
    Vollwinkel:             360°

Die Symmetrale

Die Winkelhalbierende  oder Winkelsymmetrale w ist  die Menge aller Punkte, die von den Schenkeln des Winkels gleich weit entfernt sind.

ÃœBUNGEN

1 Geben Sie für die genannten Winkel die Bezeichnung an:

Beispiel: 90°  rechter Winkel

1. 
2. 180°
3. 
4. 

2. Können Sie die Bereiche auch im Bogenmaß angeben?

3. Verstehen Sie die Textaufgaben?

1. Ein Winkel sei 90°. Wie groß sind die beiden Winkel zwischen den Schenkeln und der Winkelsymmetralen?
2. Wie groß ist der Winkel, der einem Kreisbogen mit der Länge π im Einheitskreis entspricht?

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